单纯的发热，没有其他症状，病毒性感冒的可能性大，也有可能是麻疹，风疹等感染性疾病早期所致的改变。布鲁氏杆菌病，脑炎，脑膜炎也可以有发热，但会伴有食欲不振，头痛，呕吐等其他症状。
问题分析：发烧的原因是多种多样的，发烧以后有呕吐，有可能是肠胃型的感冒会引起发烧，也有可能是体内有炎症也会引起发烧。
指导建议：让孩子喝温开水，喝点白米粥，汤面，小馄饨之类的，这段时间少吃油腻辛辣刺激性的食物，肚子注意保暖，观察一下大便是否正常。那如果体温没有下降，需要带孩子去医院做一个血常规，如果有炎症的情况下，需要采取药物消炎治疗。
问题分析：从你描述的症状，孩子之前有发烧，发烧也会损伤消化道，另外疾病本身也会影响消化功能，比如说病毒感染有可能就导致一个病毒性腹泻。另外换奶粉的时候，如果孩子抵抗力低，也有可能导致拉肚子。
指导建议：孩子出现拉肚子的话，建议暂停转奶，可以先给他吃点益生菌类药物调理一下，另外如果拉的次数多呈稀水样也可以加上蒙脱石散再观察看看。如果精神状态好，建议在家观察。
感冒发烧后可以温水擦浴一下，对于降温很有帮助，注意保暖，洗完澡后及时擦干，多喝温开水，另外维持家中的空气流通，脱掉过多的衣物。如果发热时间过长或发热温度过高（超过38.5℃），则必须使用退热药物进行必要的治疗。
五个月的宝宝发烧39℃是比较高比较严重的，需要积极地退热，避免体温进一步升高，导致宝宝出现高热惊厥等症状。应该给宝宝服用退烧药物，同时配合物理降温的方法退热。宝宝体温过高大多数和病毒或者细菌感染有关系，应该带宝宝去医院的儿科就诊。
要先给他散热，使用退热贴、物理降温，呵护宝宝大脑免受发烧影响。其次，查找病因，对症下药。不可随意服用药物，少吃或不吃蔗糖、葡萄糖等精糖类食品，饮食有规律，不可过饥或过饱。
